jueves, 20 de noviembre de 2014

4.1.5.2 Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

Dado un sistema de ecuaciones
\left\{ \begin{array}{lll} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{array} \right.
Se puede expresar de forma matricial de la siguiente manera:
\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right ) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ) = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right )
La expresión anterior, de forma abreviada A \cdot X = B, se llama expresión matricial del sistema. Las matrices se conocen como:
- A matriz de los coeficientes
- X matriz de las incógnitas
- B matriz de los términos independientes
Matriz ampliada
Se llama matriz ampliada (se representa por A^*) a la matriz de los coeficientes ampliada con la columna de los términos independientes.
A^* = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array} \right )
Es frecuente expresar la matriz de los coeficientes (A) y la matriz ampliada (A^*) en una única expresión:
A|A^* = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right )
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4.1.5.1 Definición de Matriz.


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4.1.5 Eliminación de Gauss y Gauss-Jordan

En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que este sea escalonado.
Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).
matriz matriz

Ejemplos

 1 
3x+ 2y+ z=1cierre
5x+ 3y+ 4z=2
x+ y− z=1
Primer paso
solución
solución
solución
solución
solución

Método de Gauss-Jordan

Como hemos visto, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria (aij=0 para cualquier $i \neq j$).
Veamos el método de Gauss-Jordan siguiendo con el ejemplo empleado en el apartado anterior. Aplicando el método de Gauss habíamos llegado a la siguiente ecuación: 
\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 2 ... ...ray}{r} 12 \\ 10 \\ -9 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}

Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el método de Gauss. Tomaremos como pivote el elemento a44=-3; multiplicamos la cuarta ecuación por $\frac{-3}{4}$ y la restamos a la primera: 
\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 2 ... ...rray}{r} 8 \\ 10 \\ -9 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}

Realizamos la misma operación con la segunda y tercera fila, obteniendo: 
\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 2 ... ...array}{r} 8 \\ 8 \\ -4 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}

Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2, multiplicamos la tercera ecuación por $\frac{2}{2}=1$ y la restamos a la primera: 
\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 0 ... ...rray}{r} 12 \\ 8 \\ -4 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}

Repetimos la operación con la segunda fila: 
\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 0 ... ...ray}{r} 12 \\ 12 \\ -4 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}

Finalmente, tomamos como pivote a22=-4, multiplicamos la segunda ecuación por $\frac{-2}{-4}$ y la sumamos a la primera: 
\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & 0 & 0 &... ...rray}{r} 6 \\ 12 \\ -4 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}

El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fácil de resolver. Empleando la ecuación (46) obtenemos las soluciones: 
\begin{displaymath}x = \left( \begin{array}{r} 1 \\ -3 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \end{displaymath}






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4.1.4 Sistemas de ecuaciones equivalentes.

Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen el mismo conjunto de soluciones, aunque tengan distinto número de ecuaciones.
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:
Todos los coeficientes son ceros.
Dos ecuaciones son iguales.
Una ecuación es proporcional a otra.
Una ecuación es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

 1  Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
 2  Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
 3  Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
 4  Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.
 5  Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.
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4.1.3 Métodos para solución de sistemas de ecuaciones lineales: método Grafico, igualacion.sustitución,eliminacion

4.1.3 Métodos para solución de sistemas de ecuaciones lineales: suma y resta.
METODO DE REDUCCIÓN

Procedimiento a seguir:
1.- Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convengan con su respectivo signo, ya sea positivo o negativo.
2.- Sumamos algebraicamente y desaparece una de las incógnitas.
3.- Se resuelve la ecuación resultante, despejando la incógnita existente.
4.- El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iníciales y se resuelve a fin de determinar la incógnita faltante.
5.- Los valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

A continuación se resuelve un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas para desglosar la aplicación de cada uno de los pasos descritos:

1.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de REDUCCIÓN.

3x – 4y = -6
2x + 4y = 16


Solución:

Lo más sencillo es suprimir la variable y, ya que en la primera ecuación existe la misma cantidad que en la segunda ecuación y con signos contrarios para efectuar directamente el paso 2 el cual corresponde a la suma algebraica, y de este modo se obviaría el paso 1 que sería la preparación de las ecuaciones. Pero en este caso optaremos por suprimir la x para efectuar todo el procedimiento a seguir.

Paso Nº 01: Preparamos las dos ecuaciones, por lo general lo más idóneo es multiplicar la ecuación 1 por el coeficiente numérico que acompaña a la variable de la ecuación 2, y multiplicar la ecuación 2 por el coeficiente numérico que acompaña a la variable de la ecuación 1 con el signo necesario para lograr la anulación de la variable que se quiere. Para el caso de este ejercicio en particular podemos multiplicar la ecuación 1 por 2 que es el coeficiente que acompaña a la x en la ecuación 2, y multiplicamos la ecuación 2 por 3 que es el coeficiente que acompaña a la x en la ecuación 1, y como en las dos ecuaciones la variable tiene el mismo signo (positivo) multiplicamos una de las dos ecuaciones por signo negativo (-) a fin de lograr la anulación de la variable.
Paso Nº 02: Efectuamos la suma algebraica de ambas ecuaciones.

Paso Nº 03: Se resuelve la ecuación resultante y se despeja la incógnita.

Paso Nº 04: El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales.
3x – 4y = –6, sustituyendo y = 3 nos queda; 
3x – 4(3) = –6 → 3x = –6 + 12 → x = 2.

Nota: Los valores obtenidos se sustituyen en las ecuaciones iniciales dadas en el ejercicio, más no en las alteradas para desarrollar el método de reducción.

Paso Nº 05: Los valores que constituyen la solución del sistema son: x=2 y=3.
Una manera de comprobar que los valores obtenidos como solución al aplicar el método es sustituyendo los mismos en la ecuación y el resultado debe ser cero.

3x – 4y = –6, sustituyendo las soluciones del sistema queda:
3(2) – 4(3) = –6       →       6 – 12 = –6        →       –6 = –6 ok

  
METODO DE SUSTITUCIÓN

Procedimiento a seguir:

1.- Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones.
2.- Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita (esto en el caso de ser un sistema de ecuaciones con dos incógnitas), si el sistema posee mas de dos incógnitas se va despejando una incógnita diferente por ecuación y luego se va sustituyendo sucesivamente a fin de que la ecuación final posea una sola incógnita.
3.- Se resuelve la ecuación resultante, despejando la incógnita existente.
4.- El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparece la incógnita despejada.
5.- Los valores obtenidos constituyen la solución del sistema.


A continuación se resuelve un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas para desglosar la aplicación de cada uno de los pasos descritos:

1.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de SUSTITUCIÓN.

3x – 4y = -6
2x + 4y = 16

Solución:

Paso Nº 01: Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones que conforman el sistema, por lo general tiende a despejarse la incógnita que tenga coeficiente numérico mas bajo, mas sin embargo es una opinión y este criterio no es limitativo.
En nuestro caso se decidió despejar de la segunda ecuación (2x + 4y = 16) la variable x, quedando de la siguiente manera:



Paso Nº 02: Sustituimos en la otra ecuación que conforma el sistema, la variable x por el valor obtenido del paso Nº 01 (x = 8 – 2y).

3x – 4y = –6   →  3(8 – 2y) – 4y = –6   →   24 – 6y – 4y = –6   →   24 – 10y = –6


Paso Nº 03: Resolvemos la ecuación obtenida a fin de despejar la incógnita.


Paso Nº 04: Sustituimos el valor obtenido (Paso Nº 03) en la variable despejada (Paso Nº 01).

x = 8 – 2y; con y = 3 implica que: x = 8 – 2(3) → x = 8 – 6 → x = 2

Paso Nº 05: Los valores que constituyen la solución del sistema son: x=2   y=3.

Comprobando los resultados en una de las ecuaciones que conforman el sistema nos queda;
3x – 4y = –6      →     3(2) – 4 (3) = –6      →     6 – 12 = – 6       →      – 6 = – 6


METODO DE IGUALACIÓN

Procedimiento a seguir:

1.- Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones (en caso de ser un sistema con dos ecuaciones).
2.- Se igualan las expresiones, con lo que se obtiene una ecuación con una incógnita.
3.- Se resuelve la ecuación a fin de conocer la incógnita.
4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones que conforman el sistema, en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5.- Los valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

A continuación se resuelve un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas para desglosar la aplicación de cada uno de los pasos descritos:

1.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de IGUALACIÓN.

3x – 4y = -6
2x + 4y = 16

Solución:
Paso Nº 01: Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones, en este caso despejaremos la variable x.



Paso Nº 02: Se igualan ambas expresiones despejadas (obtenidas en el paso Nº 01).


Paso Nº 03: Se resuelve la ecuación a fin de obtener la incógnita.


Paso Nº 04: El valor obtenido se sustituye en cual quiera de las ecuaciones despejadas en el paso Nº 01 a fin de conocer la incógnita restante.


Paso Nº 05: Los valores que constituyen la solución del sistema son: x=2 y=3.

Comprobando los resultados en una de las ecuaciones que conforman el sistema nos queda; 

3x – 4y = –6     →     3(2) – 4 (3) = –6     →     6 – 12 = – 6      →      – 6 = – 6 


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4.1.2 sistemas de ecuaciones lineales: consistente inconsistente

4.1.2 sistemas de ecuaciones lineales: consistente  inconsistente 

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de soluciones
Una ecuación lineal es una ecuación algebraica que contiene variables cuyo máximo grado posible es uno. Tales ecuaciones se utilizan normalmente para definir líneas rectas. Cuando tenemos numerosas ecuaciones lineales, donde sus posibles soluciones nos dan un punto de solución, las llamamos como conjunto, sistema de ecuaciones lineales. Generalmente, un sistema de ecuaciones lineales se convierte en forma de matriz por conveniencia para su solución. Sea un sistema de ecuaciones lineales dado como, x + y – z = 1 3x – 2y + z = 3 4x + y – 2z = 9
A continuación se indica la forma matricial del sistema de la ecuación como,
Existen tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales posibles, los cuales dependen del punto de intersección de la ecuación lineal en un determinado sistema de ecuación. Estos son:
1. Inconsistente independiente: Si las ecuaciones del sistema dado vienen a ser las mismas rectas que difieren en su pendiente, entonces tal sistema de ecuaciones lineales es llamado consistente y dependiente. Este sistema de ecuaciones lineales no proporciona una solución dado que todas las rectas son paralelas entre sí y no pueden cumplir con los demás, incluso si se extiende hasta el infinito, por lo que nunca se obtiene un punto de intersección, y por tanto, no puede obtenerse ninguna solución.
2. Consistente dependiente: Si todas las ecuaciones en un sistema de ecuaciones lineales calculan la misma recta en un pedazo de papel milimetrado, de manera que todas las rectas se superpongan unas sobre otras, podemos llamar a tal sistema de ecuaciones como un sistema de ecuaciones lineales inconsistente e independiente. En este caso obtenemos un número infinito de soluciones porque todos los puntos por encima de la recta son puntos de intersección.
3. Consistente independiente: Este es el sistema más general de las ecuaciones lineales, donde tenemos un número de rectas que se interceptan en un solo punto, el cual es la única solución para el sistema de ecuaciones, y denominamos a tal sistema de ecuaciones consistente e independiente.
Además de esto también tenemos tres categorías de posibles soluciones para un determinado sistema de ecuaciones lineales. Estas son:
1. Solución Independiente: La solución independiente es la solución única para un sistema de ecuaciones lineales. Para un sistema de ecuación, si aplicamos una operación de transformación de fila generalmente obtendremos una matriz de identidad. Una característica única de este tipo solución es que se necesita disponer de tantos números de ecuaciones como variables en el sistema dado. Si este requisito no se cumple, no podemos obtener una solución independiente.
Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos una solución única para cada una de las tres variables como x = 3, y = 1 y z = 2
2. Solución Dependiente: La solución dependiente es aquella por medio de la cual se obtienen numerosas soluciones para una sola variable, este es el caso de las soluciones múltiples. Para este sistema de ecuaciones, si aplicamos la operación de transformación de fila generalmente obtendremos pocos términos de cero. Usualmente, es el caso donde el número de variables es mayor que el número de ecuaciones en el sistema. Muchas veces este sistema contiene una fila cero.
La solución del sistema es x = 4 - 3t, y = 3 + 2t, z = t.
3. Solución Inconsistente: La solución es inconsistente, cuando no obtenemos ninguna solución para el sistema de ecuaciones lineales.
No tenemos una solución para el sistema de ecuaciones anterior.
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