4.4. Aplicaciones

Modelo Insumo-producto análisis de ventas y comportamiento del consumidor

4.3.4 Regla del Clamer

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:

1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

2. Calcular el determinante de A.

3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:

a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes;

b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita;

c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.

Ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer.

Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales:

El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:

Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:

  

4.3.3 Propiedades de los determinantes.

1.- |At|= |A| El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales. 

2.-|A|=0 Si: Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

 Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

 F3 = F1 + F2 

3.-Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal

4.-Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

 

5.-Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6.-Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

 

7.-Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

 

8.-|A•B| =|A|•|B| El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

4.3.2 Expansión por cofactores

Expansión por cofactores de un determinante

 Se puede probar el siguiente

Teorema Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (o columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes. Esto es                                    (2) es el desarrollo del determinante  D  por  el  renglón  i,  y  similarmente                                                                     (3) es el desarrollo del determinante  D  por la columna  k.

Las expresiones  (2)  y  (3)   son fórmulas completamente generales, cualquier determinante de cualquier dimensión se puede evaluar usando estas fórmulas. Ejemplo 3  Desarrollar por cofactores del segundo renglón y calcular el valor del determinante  D.

              

Para expandir  D,  por cofactores del segundo renglón,  calculamos primero los cofactores  A₂₁, A₂₂ y A₂₃ de los elementos del segundo renglón.

              

Entonces 

                

4.3.1 Definición de una determinante.

 Definición de una determinante.

El determinante de una matriz cuadrada es un número real cuya definición exacta es bastante complicada. Por ello, definiremos primero el determinante de matrices pequeñas, y estudiaremos métodos y técnicas para calcular determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas.

En cuanto a la notación, a veces el determinante se escribe con la palabra det, y otras veces se indica sustituyendo los paréntesis de la matriz por barras verticales.

El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales. 

• El determinante de una matriz es un número. 

• Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular. 

• Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado.

Un sistema singular es cuando en el sistema de ecuaciones se tiene a más de una ecuación con el mismo valor de la pendiente. Por ejemplo ecuaciones que representan líneas paralelas o ecuaciones que coinciden en los mismos puntos de graficación.

En un sistema mal condicionado es difícil identificar el punto exacto en que las líneas de las ecuaciones se interceptan.

4.3 Determinantes.

Determinantes

4.2.4 Matriz Inversa

Matriz Inversa.