1.3 Máximos y mínimos de funciones de dos variables

1.3 Máximos y mínimos de funciones de dos variables

Valor Máximo Relativo:

Es el punto en que la derivada de una función se anula y cambia su valor de positivo a negativo. Es decir la función pasa de creciente a decreciente.

 De acuerdo a la gráfica f tiene un valor máximo relativo (d) en el punto

c, esto es si cierto si c pertenece a (a,b),tal que f(c) sea mayor o igual a f(x) y si y solo si x pertenezca a (a,b).

Valor Mínimo Relativo:

Es el punto en que la derivada de una función se anula y cambia su valor de negativo a positivo. Es decir la función pasa de decreciente a creciente.

De acuerdo a la gráfica, f tiene un valor máximo relativo (d) en el punto

c, esto es si cierto si c pertenece a (a,b),

tal que f(c) sea menor o igual a f(x) y

si y solo si x pertenezca a (a,b).

 Para calcular los valores máximo o mínimos de la función de dos variables:

F(x,y) = 3x² – 2xy + 3y² + 8x – 8y + 5

debemos tener en cuenta los siguientes pasos:

1.    Aplicamos la primera derivada a la función son respecto a X y Y.

F_x = 6x – 2y + 8

F_Y = -2x + 6y – 8

1.    Igualamos ambas ecuaciones a 0.

Fx= 6x –2y + 8 = 0

Fy= -2x + 6y –8 = 0

Si las organizamos separando los términos dependientes de los términos libres nos queda:

6x –2y = -8       (1) 

-2x + 6y = 8      (2)

 Podemos ver que es un sistema de ecuaciones lineales 2x2 el cual podemos resolver por cualquiera de los métodos más conocidos (igualación, sustitución, eliminación o determinante).3. Resolvemos la ecuación para hallar los valores de X y Y. En este caso utilizaremos el método de eliminación. Éste método consiste en multiplicar alguna de las ecuaciones por un valor que nos permita eliminar alguna de las variables (X o Y) y así poder despejar la variable resultante. Eliminaremos Y, para ello multiplicamos la ecuación (1) por 3 y la sumamos con la (2).

3 (6x –2y) = 3(-8)

15x –6y = -24  (3)

 Nos queda la ecuación (3) a la que le sumamos la ecuación (2).

18x – 6y = -24 (3)

 -2x + 6y = 8    (2) 

16x         = -16x 

               = 16/-16      =>        x = -1

 Ahora reemplazamos el valor de X en cualquiera de las primeras ecuaciones, en este caso reemplazaremos en 2.

-2x     + 6y = 8   (1)    

-2(-1) + 6y = 8

-2       + 6y = 8

                 6y = 8 – 2

               y = 6/6       =>        y = 1

2.    Reemplazamos los valores de X y Y en la función original para hallar el punto crítico en donde la función crece o decrece.

F(x,y) = 3x² – 2xy + 3y²  + 8x – 8y + 5

F(-1,1) = 3(-1)² – 2(-1)(1) + 3(1)² + 8(-1) – 8(1) + 5

F(-1,1) = 3 + 2 + 3 –8 –8 + 5

F(-1,1) = - 3

El punto crítico de la función f(x,y) es (-1,1,-3)

1.    Aplicamos la segunda derivada para hallar las cuatro derivadas parciales:

Fxx                 = derivada de x respecto a la derivada de x

Fyy                 = derivada de y con respecto a la derivada de y

Fxy                 = derivada de x con respecto a la derivada de y
 Fyx                 = derivada de y con respecto a la derivada de x

A partir de la primera derivada obtenida en el paso 1 realizaremos las segundas derivadas parciales:

Fx = 6x –2y + 8

Fy = -2x + 6y –8

Fxx = 6

Fyy= 6

Fxy= -2

Fyx= -2

Finalmente evaluamos D(x*, y*) con las derivadas parciales para determinar la naturaleza del punto crítico. Antes de realizar los cálculos definamos los criterios para determinar la naturaleza del punto crítico.

Antes de realizar los cálculos definamos los criterios para determinar la naturaleza del punto crítico.

a. Se tiene un máximo o un mínimo relativo si: D(x*,y*) > 0.

 El punto crítico es un máximo relativo si tanto Fxx (x*, y*) como

Fyy (x*, y*) son negativas.

El punto crítico es un mínimo relativo si tanto

Fxx (x*, y*) como Fyy (x*, y*) son positivas.

b. Si D(x*,y*) < 0, el punto crítico es un punto de silla.

c. Si D(x*,y*)=0, se necesitan otras técnicas para determinar la naturaleza del punto crítico.

Habiendo definido lo anterior procedemos a evaluar utilizando las derivadas parciales

. La fórmula es:

D(x*, y*) = Fxx  x Fyy - (Fxy)²

 Fxx  = 6

Fyy   = 6

Fxy   = -2

Fyx   = -2

D(-1,1) = 6 x 6 –(-2)²

 D(-1,1) = 36 – 4

D(-1,1) = 32

Como resultado fue positivo y tanto Fxx como Fyy son mayores o iguales a 0 podemos concluir que el punto crítico en es un mínimo relativo en el punto (1,1,-3).

TUTORIAL

NOTA: estos ejercicios fueron tomados textos en internet para explicar este tema.

datos para explicar este tema.

1.2 Derivadas Parciales.

1.2 Derivadas Parciales.

Sabemos que la derivada de una función de una variable en un punto nos da la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Esto significa que sabemos la rapidez de crecimiento/decrecimiento de la función en ese punto.

Ahora supongamos que tenemos una función f que depende de más de una variable, por ejemplo f(x,y)=−x2+2xy−y.

Al ser una función de dos variables la gráfica es una superficie, y entonces hay infinitas direcciones entre las que estudiar el crecimiento.

Pues bien, las derivadas parciales nos indicarán también la pendiente de una recta concreta tangente a la superficie. Antes, pero, vamos a aprender a calcular derivadas parciales, ya que es un metodología a la que luego le daremos sentido.

Para calcular una derivada parcial de una función en diversas variables tenemos que derivar como siempre respecto una de las variables y mantener las demás como constantes, (como valores fijos).

En nuestro ejemplo f(x,y)=−x2+2xy−y, si queremos hacer la derivada parcial respecto x, consideramos la variable y como una constante, "un número", y entonces nos queda como derivar una función de una variable, f(x).

Ejemplo, explicado mediante este vídeo( buenísimo)

 

Modulo 1. Introducción al cálculo en dos Variables.

1.1    Funciones en dos variables.

Definición:  Una función de dos variables, z = f(x, y), es el modelo

matemático que nos dice cuál es el valor de la variable Z para cada posible valor de las variables X e Y

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contra-dominio.

Una función de dos variables se denota usualmente con la notación

z = f (x, y)

Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).